Soutenance publique de thèse de doctorat en Sciences mathématiques - Marvyn GULINA

Sur les approximations de l’opérateur de Koopman et applications à l’identification spectrale des réseaux

Jury

• Prof. Joseph WINKIN (département de mathématique, UNamur), président
• Prof. Alexandre MAUROY (département de mathématique, UNamur), promoteur et secrétaire
• Prof. Timoteo CARLETTI (département de mathématique, UNamur), co-promoteur
• Prof. Julien HENDRICKX (pôle en ingénierie mathématique, UCLouvain)
  
• Dr Felix DIETRICH (Department of Computer Science, Technical University of Munich)

Résumé

Cette thèse étudie l'opérateur de Koopman comme un outil puissant pour l'analyse des systèmes dynamiques non linéaires et ses applications à l'identification spectrale des réseaux.
L'opérateur de Koopman est un opérateur linéaire de dimension infinie qui décrit l'évolution des observables le long des trajectoires d'un système dynamique.
La première partie de la thèse retrace le contexte historique et introduit la théorie de l'opérateur de Koopman et ses approximations de dimension finie à l'aide de méthodes basées sur les données.
Ensuite, deux nouvelles méthodes basées sur le calcul par réservoir sont proposées pour construire des approximations de l'opérateur de Koopman à partir de séries temporelles.
La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'identification spectrale des réseaux, qui est le problème qui consiste à inférer les propriétés structurelles d'un réseau à partir de mesures de sa dynamique en exploitant les propriétés de l'opérateur de Koopman associé et de ses valeurs propres.
Quelques concepts de la théorie spectrale des graphes sont donnés pour introduire les bases de l'identification spectrale des réseaux.
Ensuite, un cadre existant pour l'identification spectrale des réseaux avec un couplage diffusif scalaire est étendu pour inclure des couplages diffusifs et additifs vectoriels.
Enfin, un nouveau cadre pour l'identification spectrale des réseaux avec un couplage impulsionnel est développé et illustré.

Abstract

This dissertation investigates the Koopman operator as a powerful tool for the analysis of nonlinear dynamical systems and its applications to spectral network identification.
The Koopman operator is an infinite-dimensional linear operator that captures the evolution of observables along the trajectories of a dynamical system.
The first part of the dissertation reviews the historical background and introduces the theory of the Koopman operator and its finite-dimensional approximations using data-driven methods.
Then, two novel methods based on reservoir computing are proposed to construct approximations of the Koopman operator from time series data.
The second part of the dissertation focuses on spectral network identification, which is the problem of inferring structural properties of a network from measurements of its dynamics by exploiting the properties of the associated Koopman operator and its eigenvalues.
Some concepts of spectral graph theory are given to introduce the basics of spectral network identification.
Afterward, an existing framework for spectral network identification with a scalar-valued diffusive coupling is extended to include vector-valued diffusive and additive couplings.
Finally, a new framework for spectral network identification with an impulsive coupling is developed and illustrated.

Lien

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